Question

11．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且$\frac{3}{2}$，3，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}（{a}_{n}+n）}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{3}{2}$，3，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．可得公比為2．再利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{2}{{a}_{n}（{a}_{n}+n）}$=$\frac{2}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{3}{2}$，3，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．
∴公比為$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2．
∴a₄=$\frac{3}{2}$×2²=6，a₁₀=$\frac{3}{2}×{2}^{3}$=12．
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+9d=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=1}\end{array}\right.$，
于是a_n=3+（n-1）=n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{2}{{a}_{n}（{a}_{n}+n）}$=$\frac{2}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
于是S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2n+4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．