Question

12．已知直線l₁：ax-2y=2a-4與l₂：2x+a²y=2a²+4．
（1）求證：直線l₁與l₂都過同一個定點．
（2）當0＜a＜2時，l₁，l₂與兩坐標軸圍成一個四邊形，問：a取何值時，這個四邊形的面積最��？求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）把所給的兩個直線的方程進行整理，把含有字母a的部分都分開，提出a，得到一個直線的方程，把兩個方程聯(lián)立得到結(jié)果．
（2）求出直線與坐標軸的交點，把一個四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形，根據(jù)底邊和高得到三角形的面積，表示出面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．

解答 證明：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0變形得：
a（x-2）-2y+4=0，
所以，當x=2時，y=2，
即直l₁過定點（2，2）．
由l₂：2x+a²y-2a²-4=0變形得a²（y-2）+2x-4=0，
所以當y=2時，x=2，
即直線l₂過定點（2，2），
（2）如圖示：
直線l₁與y軸交點為A（0，2-a），直線l₂與x軸交點為B（a²+2，0），如圖：
由直線l₁：ax-2y-2a+4=0知，直線l₁也過定點C（2，2），
過C點作x軸垂線，垂足為D，于是：
S_{四邊形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=$\frac{1}{2}$（2-a+2）•2+$\frac{1}{2}$a²•2
=a²-a+4，
∴當a=$\frac{1}{2}$時，S_{四邊形AOBC}最�。�
故當a=$\frac{1}{2}$時，所圍成的四邊形面積最小值為：$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查過頂點的直線和四邊形的面積的最值，本題解題的關(guān)鍵是表示出面積，在立體幾何和解析幾何中，不論求什么圖形的面積一般都要表示出結(jié)果，再用函數(shù)的最值來求．