Question

12．已知直線l₁：ax-2y=2a-4與l₂：2x+a²y=2a²+4．
（1）求證：直線l₁與l₂都過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)．
（2）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，l₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，問(wèn)：a取何值時(shí)，這個(gè)四邊形的面積最�。壳蟪鲞@個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）把所給的兩個(gè)直線的方程進(jìn)行整理，把含有字母a的部分都分開，提出a，得到一個(gè)直線的方程，把兩個(gè)方程聯(lián)立得到結(jié)果．
（2）求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，把一個(gè)四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形，根據(jù)底邊和高得到三角形的面積，表示出面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．

解答 證明：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0變形得：
a（x-2）-2y+4=0，
所以，當(dāng)x=2時(shí)，y=2，
即直l₁過(guò)定點(diǎn)（2，2）．
由l₂：2x+a²y-2a²-4=0變形得a²（y-2）+2x-4=0，
所以當(dāng)y=2時(shí)，x=2，
即直線l₂過(guò)定點(diǎn)（2，2），
（2）如圖示：
直線l₁與y軸交點(diǎn)為A（0，2-a），直線l₂與x軸交點(diǎn)為B（a²+2，0），如圖：
由直線l₁：ax-2y-2a+4=0知，直線l₁也過(guò)定點(diǎn)C（2，2），
過(guò)C點(diǎn)作x軸垂線，垂足為D，于是：
S_{四邊形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=$\frac{1}{2}$（2-a+2）•2+$\frac{1}{2}$a²•2
=a²-a+4，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，S_{四邊形AOBC}最�。�
故當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，所圍成的四邊形面積最小值為：$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查過(guò)頂點(diǎn)的直線和四邊形的面積的最值，本題解題的關(guān)鍵是表示出面積，在立體幾何和解析幾何中，不論求什么圖形的面積一般都要表示出結(jié)果，再用函數(shù)的最值來(lái)求．