Question

14．函數(shù)f（x）=|x²-2x-1|，設(shè)a＞b＞1且f（a）=f（b），則（a-b）（a+b-2）的取值范圍是（　�。�

• A． （0，4）
• B． [0，4）
• C． [1，3）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a-1）²+（b-1）²=4．設(shè)a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），利用換元法結(jié)合三角函數(shù)的定義域和值域關(guān)系即可求得（a-b）（a+b-2）的取值范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖：
可得f（x）=|x²-2x-1|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
且f（1-$\sqrt{2}$）=f（1+$\sqrt{2}$）=0，f（3）=f（-1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），
則a＞1+$\sqrt{2}$，1＜b＜1+$\sqrt{2}$得a²-2a-1=-（b²-2b-1），整理得 （a-1）²+（b-1）²=4．
設(shè)a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
則a=2cosθ+1，b=2sinθ+1，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
則（a-b）（a+b-2）=（2cosθ-2sinθ）（2cosθ+2sinθ+2-2）=（2cosθ-2sinθ）（2cosθ+2sinθ）=4cos²θ-4sin²θ=4cos2θ，
∵θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
則cos2θ∈（0，1），
則4cos2θ∈（0，4），
故選：A

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了分析問題的能力，計算能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．