Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)₁和F₂，上頂點(diǎn)為B，BF₂，延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)A，△ABF的周長(zhǎng)為8，且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l⊥AB且與橢圓C相交于兩點(diǎn)P，Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓定義可得△ABF₁的周長(zhǎng)為4a，解得a=2，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得b=c，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，可得橢圓方程；
（Ⅱ）由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得直線l的斜率，進(jìn)而設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，可得弦長(zhǎng)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓定義可得△ABF₁的周長(zhǎng)為4a，即有4a=8，解得a=2，
由B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=（-c，-b），$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=（c，-b），
且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0，則-c²+b²=0，即為b=c，又b²+c²=a²=4，
解得b=c=$\sqrt{2}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）由B（0，$\sqrt{2}$），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），可得直線AB的斜率為-1，
由l⊥AB，可得直線l的斜率為1，
設(shè)直線l的方程為y=x+t，代入橢圓方程，可得
3x²+4tx+2t²-4=0，
由判別式大于0，即16t²-12（2t²-4）＞0，解得-$\sqrt{6}$＜t＜$\sqrt{6}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$t，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-4}{3}$，
|PQ|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{t}^{2}}{9}-\frac{8{t}^{2}-16}{3}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{48-8{t}^{2}}$，當(dāng)t=0時(shí)，|PQ|取得最大值，且為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
則有|PQ|的最大值為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．