Question

13．（x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)490，則實(shí)數(shù)m的值為±$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式中x²項(xiàng)是由（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)與x²項(xiàng)所組成的，求出（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)以及x²項(xiàng)的系數(shù)即可．

解答 解：（x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式中x²項(xiàng)是由（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)與x²項(xiàng)所組成的，
∵（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（\frac{1}{{x}^{2}}）}^{5-r}$•（-mx）^r=（-m）^r•${C}_{5}^{r}$•x^3r-10；
令3r-10=0，解得r=$\frac{10}{3}$，不合題意，應(yīng)舍去；
令3r-10=2，解得r=4，
∴（x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為
2•（-m）⁴•${C}_{5}^{4}$=490，
即m⁴=49，
解得m=±$\sqrt{7}$．
故答案為：±$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了多項(xiàng)式乘法運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．