Question

7．已知$f（x）=\frac{x}{x+2}（x≥0）$
（1）比較f（3）與$f（\sqrt{10}）$的大小；
（2）求證：$\frac{|x|}{2+|x|}+\frac{|y|}{2+|y|}≥\frac{{|{x+y}|}}{{2+|{x+y}|}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出f（3）與$f（\sqrt{10}）$的值，再比較f（3）與f（$\sqrt{10}$）的大�。�
（2）利用絕對(duì)值不等式和放縮法，即可證明$\frac{|x|}{2+|x|}+\frac{|y|}{2+|y|}≥\frac{{|{x+y}|}}{{2+|{x+y}|}}$．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x}{x+2}（x≥0）$，
∴f（3）=$\frac{3}{3+2}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{3}}$，
$f（\sqrt{10}）$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}+2}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{10}}}$；
又∵3＜$\sqrt{10}$，
∴1+$\frac{2}{3}$＞1+$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∴$\frac{1}{1+\frac{2}{3}}$＜$\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{10}}}$，
即f（3）＜f（$\sqrt{10}$）；
（2）證明：∵$\frac{|x|}{2+|x|}$+$\frac{|y|}{2+|y|}$≥$\frac{|x|}{2+|x|+|y|}$+$\frac{|y|}{2+|x|+|y|}$
=$\frac{|x|+|y|}{2+|x|+|y|}$
=$\frac{1}{\frac{2}{|x|+|y|}+1}$≥$\frac{1}{\frac{2}{|x+y|}+1}$
=$\frac{|x+y|}{2+|x+y|}$；
∴$\frac{|x|}{2+|x|}+\frac{|y|}{2+|y|}≥\frac{{|{x+y}|}}{{2+|{x+y}|}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)值大小的比較，也考查了絕對(duì)值不等式的證明與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．