Question

17．f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對(duì)稱關(guān)系即可求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

解答 解：（1）若x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
∴當(dāng)-x∈（0，1）時(shí)，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{-x}•{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=-f（x）．
即f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，x∈（-1，0）；
（2）證明：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴1＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，1-${2}^{{x}_{1}}$•${2}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)解析式的求解，要求熟練掌握利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．