Question

10．在△ABC中，給出下列命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
②若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=c，則△ABC是直角三角形；
③若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
④若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；
其中正確的命題是（　�。�

• A． ②④
• B． ②③
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由sin2A=sin2B，得出△ABC是等腰或直角三角形；
②由正弦定理得出△ABC是直角三角形；
③舉例說(shuō)明sinA=cosB時(shí)，△ABC不一定是直角三角形；
④由tanA+tanB+tanC＞0，得出tanAtanBtanC＞0，判斷△ABC是銳角△．

解答 解：對(duì)于①，sin2A=sin2B時(shí)，2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=c，∴sinC=1，
∴C=$\frac{π}{2}$，∴△ABC是直角三角形，②正確；
對(duì)于③，不妨令A(yù)=100°，B=10°，此時(shí)sinA=cosB，
△ABC不是直角三角形，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）
=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$
∴tanA+tanB=tanC（tanAtanB-1）
∴tanA+tanB+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC
=tanAtanBtanC＞0，
∴A、B、C都是銳角，△ABC是銳角三角形，④正確；
綜上，正確的命題是②④．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，是綜合性題目．