Question

已知函數(shù)。

(1)若的單調(diào)減區(qū)間是,求實數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)?、?是函數(shù)的兩個極值點，?<?，。求證：對任意的，不等式成立．

 

Answer 1

(1) (2) (3)略

【解析】

試題分析：(1) 由題得，以及的單調(diào)減區(qū)間,解得 ;

(2)函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題．

(3)由

又∵有兩個不相等的正跟?,?且?<?, ,得 , 即在上單調(diào)遞減,

設, 求得 再利用單調(diào)性即可．

(1) 由題得,

要使的單調(diào)減區(qū)間是則,解得 ; (2分)

另一方面當時,

由解得,即的單調(diào)減區(qū)間是．

綜上所述． (4分)

(2), 函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同,

∴, ∴ (6分)

∵,又

∴ (8分)

(3)∵

又∵有兩個不相等的正跟?,?且?<?, ,∴

∴當時, , 即在上單調(diào)遞減,∴ (10分)

則對任意的,

設, 則

當時, ∴在上單增, ∴, ∴也在上單增, (12分)

∴

∴不等式對任意的成立． (14分)

考點：利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間以及參數(shù)的取值范圍；不等式恒成立的問題；利用導數(shù)求極值．