Question

4．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x-1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，${x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)可得解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由（1）及$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，則可求$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$，由${x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，可求2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，解得cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解．2分）

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x-1得：f（x）=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（2分）
由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$得k$π+\frac{π}{6}$≤x≤k$π+\frac{2π}{3}$，（k∈Z）．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[k$π+\frac{π}{6}$，k$π+\frac{2π}{3}$]，（k∈Z）．  …（6分）
（2）由（1）知，$f（{x_0}）=2sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）$，
又由已知$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，則$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$． …（7分）
因為${x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，則2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，因此$cos（2{x_0}+\frac{π}{6}）＜0$，
所以cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，…（10分）
于是cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$． …（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩角差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．