【題目】設(shè)函數(shù)有兩個零點,,且.
(1)求的求值范圍;
(2)求證:.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】分析:(1)要保證函數(shù)有兩個不同的零點,,可分析函數(shù)的單調(diào)性然后根據(jù)題意找出兩個不同兩點所對應(yīng)的條件即可,對單調(diào)性的討論,注意a的影響;(2)由(1)可知,,是方程()的兩個不等實根,也是方程的兩個不等實根,也是函數(shù)的兩個零點,且,故再構(gòu)造函數(shù),只需分析出單調(diào)性即可得證.
(1)解法一:.
①當(dāng)時,,在上是增函數(shù),不可能有兩個零點.
②當(dāng)時,由 ,解得,所以
若,則,所以在上是減函數(shù);若,則,所以在上是增函數(shù).所以當(dāng)時,取得極小值,也是它的最小值.
.
因為,,所以若使有兩個零點,只需,解得.
綜上,實數(shù)的取值范圍是.
解法二:題意方程有兩個不等實根,易知其中,所以題意方程有兩個不等實根函數(shù)與的圖象有兩個不同的公共點.
設(shè),則,所以當(dāng)或時,,所以在和上是減函數(shù);當(dāng),,所以在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,取得極小值.
又因為,,,,在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)與的圖象,如圖所示,觀察圖形可知當(dāng)時,二者有兩個不同的公共點.
所以實數(shù)的取值范圍是.
(2)證明:由(1)可知,,是方程()的兩個不等實根,也是方程的兩個不等實根,也是函數(shù)的兩個零點,且.
因為,所以當(dāng)時,,所以在上是減函數(shù);當(dāng)時,,所以在上是增函數(shù).
設(shè),則 ,所以當(dāng)時,
,所以在上是減函數(shù),所以 ,即,即,即.
又因為,所以,所以.
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B.{0,1,2,3}
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A.
B.
C.
D.
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