Question

6．已知實數x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-9≥0}\\{x-y-1≤0}\\{y≤3}\end{array}\right.$，若x-ky的最大值是-1，則正數k的值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 3或$\frac{5}{3}$
• D． 3或$\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 作出平面區(qū)域，令z=x-ky，則直線y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$的截距取得最小值時，z取得最大值，將平面區(qū)域的臨界點代入z=x-ky求出k．

解答 解：作出平面區(qū)域如圖：

令z=x-ky，則y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$，所以當z取得最大值時，y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$的截距最�。�
若0＜$\frac{1}{k}$＜1即k＞1時，則當直線y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$經過B點時截距最�。�
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{4x+y-9=0}\end{array}\right.$得x=2，y=1．∴2-k=-1，解得k=3．
若$\frac{1}{k}$≥1，即0＜k≤1時，則當直線y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$經過C點時截距最小．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得x=4，y=3．∴4-3k=-1，解得k=$\frac{5}{3}$（舍）．
綜上，k=3．
故選：A．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，作出平面區(qū)域，找到最優(yōu)解是解題關鍵，屬于基礎題．