Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³-2x-lnx，a∈R
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=b，求a+b的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）若不等式|f（x）+2（x+a）|≥1對(duì)任意x∈（0，1]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=1，再由切點(diǎn)可得b=-1，進(jìn)而得到a+b的值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，可得最值，進(jìn)而判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）令g（x）=f（x）+2（x+a）=ax³-lnx+2a，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，利用最小值大于等于1，即可確定實(shí)數(shù)a取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=ax³-2x-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²-2-$\frac{1}{x}$，
由題意可得在x=1處的切線斜率為3a-3=0，解得a=1；
切點(diǎn)為（1，-1），則b=-1，故a+b=0；
（2）f（x）=x³-2x-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2-$\frac{1}{x}$
=$\frac{3{x}^{3}-2x-1}{x}$，x＞0，
由3x³-2x-1=3x（x-1）（x+1）+（x-1）=（x-1）（3x²+3x+1），
可得x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處取得最小值，且為-1，
則f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
（3）顯然x=1時(shí)，有|3a|≥1，解得a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{1}{3}$；
令g（x）=f（x）+2（x+a）=ax³-lnx+2a，g′（x）=3ax²-$\frac{1}{x}$，0＜x≤1，
①當(dāng)a≤-$\frac{1}{3}$時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上遞減，
g（x）_min=g（1）=3a≤-1，此時(shí)g（x）∈[3a，+∞），
|g（x）|的最小值為0，不適合題意．
②當(dāng)a≥$\frac{1}{3}$時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′（x）=0，解得x=$\root{3}{\frac{1}{3a}}$，
函數(shù)在（0，$\root{3}{\frac{1}{3a}}$）上單調(diào)遞減，在（$\root{3}{\frac{1}{3a}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|g（x）|的最小值為g（$\root{3}{\frac{1}{3a}}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$ln（3a）+2a≥1，在a≥$\frac{1}{3}$顯然成立．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．