Question

8．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{{2}^{x}+1}$（a為常數(shù)）為R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）對x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2^x-1恒成立，求實數(shù)s的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=$\frac{2}{1-f（x）}$，若關(guān)于x的方程g（2x）-mg（x）=0有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0可求得a的值，然后驗證a的取值滿足函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）分離參數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；
（3）可先將方程化簡，然后問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在指定區(qū)間上根的分布問題，然后再進一步求解．

解答 解：（Ⅰ）由題意知f（0）=0．即$1-\frac{a}{{2}^{0}+1}=0$，
所以a=2．此時f（x）=$1-\frac{2}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
而f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=-f（x）$，
所以f（x）為奇函數(shù)，故a=2為所求．3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
因為x∈（0，1]，所以2^x-1＞0，2^x+1＞0，
故s•f（x）≥2^x-1恒成立等價于s≥2^x+1恒成立，
因為2^x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范圍是[3，+∞）．…（7分）
（Ⅲ） 由題意g（x）=$\frac{2}{1-f（x）}$，化簡得g（x）=2^x+1，
方程g（2x）-mg（x）=0，即2^2x-m•2^x+1-m=0有唯一實數(shù)解
令t=2^x，則t＞0，
即等價為t²-mt+1-m=0，（t＞0）有一個正根或兩個相等正根…（9分）
設(shè)h（t）=t²-mt+1-m，則滿足h（0）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{\frac{m}{2}＞0}\end{array}\right.$
由h（0）≤0，得1-m≤0，即m≥1
當(dāng)m=1時，h（t）=t²-t，滿足題意…（11分）
由$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{\frac{m}{2}＞0}\end{array}\right.$得m=2$\sqrt{2}$-2，
綜上，m的取值范圍為m≥1或m=2$\sqrt{2}$-2…（14分）

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及不等式恒成立問題的基本思路，后者一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，綜合性較強，有一定的難度．