Question

12．已知數(shù)列{a_n}中，2a_n+1-a_n+1a_n+a${\;}_{n}^{2}$=4，S_n為它的前n項(xiàng)和，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)2a_n+1-a_n+1a_n+a${\;}_{n}^{2}$=4變形可知（2-a_n）a_n+1=（2-a_n）（2+a_n），進(jìn)而分a_n=2或a_n+1=a_n+2兩種情況討論即可；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=2或a_n=2n-1，當(dāng)a_n=2時(shí)直接利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論；當(dāng)a_n=2n-1時(shí)可知b_n=（2n-1）•3ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵2a_n+1-a_n+1a_n+a${\;}_{n}^{2}$=4，
∴（2-a_n）a_n+1=（2-a_n）（2+a_n），
∴2-a_n=0或a_n+1=2+a_n，即a_n=2或a_n+1=a_n+2，
①當(dāng)a_n=2時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)a_n+1=a_n+2時(shí)，由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
可知$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（4a₁+12），解得：a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
綜上所述，a_n=2或a_n=2n-1；
（2）由（1）可知a_n=2或a_n=2n-1，
①當(dāng)a_n=2時(shí)，b_n=a_n•3ⁿ=2•3ⁿ，
∴T_n=2•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ⁺¹-3；
②當(dāng)a_n=2n-1時(shí)，b_n=a_n•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2T_n=3+2（3²+3³+…+•3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
于是T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類(lèi)討論的思想，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．