1.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且csinC=(a-$\frac{\sqrt{3}b}{2}$)sinA+(b-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)sinB.
(1)求角C的大;
(2)若a=2$\sqrt{3}$,c=2,求△ABC的周長.

分析 (1)由正弦定理結(jié)合條件可得a2+b2-c2=$\sqrt{3}$ab,利用余弦定理可求cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,結(jié)合范圍0<C<π,即可求C.
(2)法一:由余弦定理結(jié)合條件整理可得b2-6b+8=0,即可解得b的值,從而可求周長;
法二:由正弦定理,結(jié)合條件可得sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求得A,從而可求B,b的值,即可解得三角形周長.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)由正弦定理,結(jié)合條件:csinC=(a-$\frac{\sqrt{3}b}{2}$)sinA+(b-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)sinB.
可得,c2=(a-$\frac{\sqrt{3}b}{2}$)×a+(b-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)×b              (2分)
=a2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab+b2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab=a2+b2-$\sqrt{3}$ab.
∴a2+b2-c2=$\sqrt{3}$ab,(4分)
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即 cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∵0<C<π,∴C=$\frac{π}{6}$. (6分)
(2)法一:由余弦定理,結(jié)合條件:a=2$\sqrt{3}$,c=2,又由(Ⅰ)知C=$\frac{π}{6}$,
可得 c2=a2+b2-2abcosC,
∴4=12+b2-2×$2\sqrt{3}b×\frac{\sqrt{3}}{2}$,即b2-6b+8=0,(8分)
解得b=2或b=4,經(jīng)檢驗,兩解均有意義. (11分)
綜上,△ABC周長為4+2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$. (12分)
法二:由正弦定理,結(jié)合條件:a=2$\sqrt{3}$,c=2,又由(Ⅰ)知C=$\frac{π}{6}$,
可得 sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}-\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.(7分)
∵A>C,∴A>C∴a=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$,從而B=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$.(8分)
當B=$\frac{π}{2}$時,△ABC為直角三角形,∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$=4,∴△ABC周長為6+2$\sqrt{3}$;
當B=$\frac{π}{6}$時,△ABC為等腰三角形,∴b=c=2,∴△ABC周長為4+2$\sqrt{3}$.(11分)
綜上,△ABC周長為4+2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$.

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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