Question

3．某物理實驗室做實驗，需要一個體積為72m³的長方體封閉紙盒．若紙盒底面一邊的長是另一邊長的2倍，S表示紙盒的表面積，x表示紙盒底面上較短的邊長．
（1）試寫出S與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少？（值得厚度忽略不計）

Answer 1

分析 （1）由題意可表示出長方體的另外的邊長，由表面積公式可得；
（2）變形可得S=4x²+$\frac{108}{x}$+$\frac{108}{x}$，由基本不等式可得．

解答 解：（1）由題意可得紙盒底面上較長的邊長為2x，
則由體積公式可得72=2x•x•h，（h為紙盒的高），
則h=$\frac{36}{{x}^{2}}$，故S=2•2x•x+2•2x•$\frac{36}{{x}^{2}}$+2•x•$\frac{36}{{x}^{2}}$=4x²+$\frac{216}{x}$，x＞0；
（2）∵S=4x²+$\frac{216}{x}$，x＞0，∴S=4x²+$\frac{108}{x}$+$\frac{108}{x}$≥3$\root{3}{4{x}^{2}•\frac{108}{x}•\frac{108}{x}}$=108
當(dāng)且僅當(dāng)4x²=$\frac{108}{x}$即x=3時取等號．
故當(dāng)x=3時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求解，涉及基本不等式解決最優(yōu)化問題，屬中檔題．