Question

17．在空間中，以AB為公共邊的兩正方形ABCD，ABEF的邊長皆為4，已知$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$=2，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$=（　　）

• A． 18
• B． 14
• C． 30
• D． 34

Answer 1

分析 作出圖形，求出二面角的大小，EC，AE，AC，使用余弦定理求出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AC}$的夾角，代入數(shù)量積公式計(jì)算．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$=4×4×cos∠DAF=2，∴cos∠DAF=$\frac{1}{8}$．∴cos∠CBE=cos∠DAF=$\frac{1}{8}$．
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}-2BC•BEcos∠CBE}$=2$\sqrt{7}$．
∵AC=AE=4$\sqrt{2}$，∴cos∠CAE=$\frac{A{C}^{2}+A{E}^{2}-C{E}^{2}}{2AC•AE}$=$\frac{9}{16}$．
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$=AC•AE•cos∠CAE=4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{9}{16}$=18．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．