Question

6．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD，DA上的點．且滿足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{HD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{FB}$=$\frac{CG}{GD}$=2．
（1）求證：四邊形EFGH是梯形；
（2）若BD=a．求梯形EFGH的中位線的長．

Answer 1

分析 （1）利用比例關系，求出EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，EH=$\frac{1}{3}BD$，F(xiàn)G=$\frac{2}{3}$BD，即可證明四邊形EFGH是梯形；
（2）EH=$\frac{1}{3}BD$=$\frac{1}{3}a$，F(xiàn)G=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$a，即可求梯形EFGH的中位線的長．

解答 （1）證明：∵$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{HD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{FB}$=$\frac{CG}{GD}$=2，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，EH=$\frac{1}{3}BD$，F(xiàn)G=$\frac{2}{3}$BD．
∴EH∥FG，EH≠FG，
∴四邊形EFGH是梯形；
（2）解：∵BD=a，
∴EH=$\frac{1}{3}BD$=$\frac{1}{3}a$，F(xiàn)G=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$a，
∴梯形EFGH的中位線的長為$\frac{a}{2}$．

點評 本題考查直線與直線平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．