Question

10．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿(mǎn)足a₁=1，a_k+1-a_k=a_i．（i≤k，k=1，2，3，…，n-1）
（Ⅰ）求證：${a_{k+1}}-{a_k}≥1\begin{array}{l}{\;}{（k=1，2，3，…，n-1）}\end{array}$；
（Ⅱ）若{a_n}是等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{2}n（n+1）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明；
（II）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（III）利用“累加求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_k+1-a_k=a_i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
又∵a_k+1-a_k=a_i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴a_k+1-a_k≥1（k=1，2，3，…，n-1）．
（Ⅱ）解：∵a₂-a₁=a₁，∴a₂=2a₁；
∵{a_n}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{a_n}的公比為2．
∵a_k+1-a_k=a_i（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），∴當(dāng)i=k時(shí)有a_k+1=2a_k．
這說(shuō)明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列．
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅲ）證明：∵1=a₁=1，2=a₂=2，$3≤{a_3}≤{2^2}$，$4≤{a_4}≤{2^3}$，…，$n≤{a_n}≤{2^{n-1}}$，
由上面n個(gè)式子相加，得到：$1+2+3+…+n≤{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}≤{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}$，
化簡(jiǎn)得 $\frac{n（n+1）}{2}＜（{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}）＜（{2^n}-1）$，
∴$\frac{1}{2}n（n+1）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、“累加求和”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．