Question

5．定義：如果兩個橢圓的離心率相等，那么稱這兩個橢圓相似，它們的長軸長之比（大于1）叫做這兩個橢圓的相似比．（1）設(shè)m，n∈N^*，試判斷橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1和橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{m+n}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1能否相似？若能，求出它們的相似比；若不能，請說明理由．
（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓C₃：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和橢圓C₄：$\frac{{x}^{2}}{{{a}^{2}}_{1}}$+$\frac{{y}^{2}}{{^{2}}_{1}}$=1（a₁＞b₁＞0）相似，且a₁＞a，過橢圓C₃的右焦點F且不垂直于x軸的直線l與這兩個橢圓自上而下依次交于點A，B，C，D，射線OB，OC分別與橢圓C₄交于點M，N，連接MN，AM，DN．
求證：①MN∥l；
②△ABM和△CDN的面積相等．

Answer 1

分析 （1）求離心率e₁=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$，e₂=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$，從而可得n=2+$\frac{1}{m}$，從而解得；
（2）①由題意，記相似比為d=$\frac{{a}_{1}}{a}$（d＞1），從而可得a₁=ad，c₁=cd，b₁=bd，從而設(shè)點B（x_B，y_B），則點M（dx_B，dy_B），點C（x_C，y_C），則點N（dx_C，dy_C），從而求解；
②設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），從而聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$得（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，從而可得x_B+x_C=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，同理可得x_A+x_D=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，從而證明．

解答 解：（1）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e₁=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$，
橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{m+n}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1的離心率e₂=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$，
故$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$，
解得，n=2+$\frac{1}{m}$，
故m=1，n=3時成立；
故相似比為$\frac{\sqrt{m+n}}{\sqrt{m+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（2）證明：①由題意，記相似比為d=$\frac{{a}_{1}}{a}$（d＞1），
則a₁=ad，c₁=cd，b₁=bd，
∴橢圓C₄：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}pjylovh^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}dypp1qx^{2}}$=1，
設(shè)點B（x_B，y_B），則點M（dx_B，dy_B），
同理點C（x_C，y_C），則點N（dx_C，dy_C），
故k_BC=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$，k_MN=$\frac{d{y}_{C}-d{y}_{B}}{d{x}_{C}-d{x}_{B}}$=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$，
故BC∥MN，
即MN∥l；
②設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$化簡得，
（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，
△=（2a²k²c）²-4（a²k²+b²）（a²k²c²-a²b²）
=4a²b⁴（k²+1）＞0，
∴x_B+x_C=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
同理可得x_A+x_D=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
故x_A+x_D=x_B+x_C，
故x_A-x_B=x_C-x_D，
故AB=CD；
又∵AB邊上高與CD邊上的高相等，
∴△ABM和△CDN的面積相等．

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力，同時考查了學(xué)生的化簡運算的能力．