5.定義:如果兩個橢圓的離心率相等,那么稱這兩個橢圓相似,它們的長軸長之比(大于1)叫做這兩個橢圓的相似比.(1)設(shè)m,n∈N*,試判斷橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1和橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{m+n}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1能否相似?若能,求出它們的相似比;若不能,請說明理由.
(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,設(shè)橢圓C3:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)和橢圓C4:$\frac{{x}^{2}}{{{a}^{2}}_{1}}$+$\frac{{y}^{2}}{{^{2}}_{1}}$=1(a1>b1>0)相似,且a1>a,過橢圓C3的右焦點F且不垂直于x軸的直線l與這兩個橢圓自上而下依次交于點A,B,C,D,射線OB,OC分別與橢圓C4交于點M,N,連接MN,AM,DN.
求證:①MN∥l;
②△ABM和△CDN的面積相等.

分析 (1)求離心率e1=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$,e2=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$,從而可得n=2+$\frac{1}{m}$,從而解得;
(2)①由題意,記相似比為d=$\frac{{a}_{1}}{a}$(d>1),從而可得a1=ad,c1=cd,b1=bd,從而設(shè)點B(xB,yB),則點M(dxB,dyB),點C(xC,yC),則點N(dxC,dyC),從而求解;
②設(shè)直線l的方程為y=k(x-c),從而聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-c)}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$得(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,從而可得xB+xC=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$,同理可得xA+xD=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$,從而證明.

解答 解:(1)橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e1=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$,
橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{m+n}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1的離心率e2=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$,
故$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$,
解得,n=2+$\frac{1}{m}$,
故m=1,n=3時成立;
故相似比為$\frac{\sqrt{m+n}}{\sqrt{m+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$;
(2)證明:①由題意,記相似比為d=$\frac{{a}_{1}}{a}$(d>1),
則a1=ad,c1=cd,b1=bd,
∴橢圓C4:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}pjylovh^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}dypp1qx^{2}}$=1,
設(shè)點B(xB,yB),則點M(dxB,dyB),
同理點C(xC,yC),則點N(dxC,dyC),
故kBC=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$,kMN=$\frac{d{y}_{C}-d{y}_{B}}{d{x}_{C}-d{x}_{B}}$=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$,
故BC∥MN,
即MN∥l;
②設(shè)直線l的方程為y=k(x-c),
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-c)}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$化簡得,
(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,
△=(2a2k2c)2-4(a2k2+b2)(a2k2c2-a2b2
=4a2b4(k2+1)>0,
∴xB+xC=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$,
同理可得xA+xD=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$,
故xA+xD=xB+xC,
故xA-xB=xC-xD,
故AB=CD;
又∵AB邊上高與CD邊上的高相等,
∴△ABM和△CDN的面積相等.

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力,同時考查了學(xué)生的化簡運算的能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.函數(shù)y=tan(ax+$\frac{π}{6}$)(a≠0)的最小正周期為$\frac{π}{|a|}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知sin$\frac{φ}{2}$=$\frac{3}{5}$,cos$\frac{φ}{2}$=-$\frac{4}{5}$,試確定角φ所在的象限.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知直線l經(jīng)過點P(-2,1),且點A(-1,-2)到l的距離為1,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.兩圓x2+y2=16與(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交點處的切線互相垂直,則r=(  )
A.5B.4C.3D.2$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),滿足a1=1,ak+1-ak=ai.(i≤k,k=1,2,3,…,n-1)
(Ⅰ)求證:${a_{k+1}}-{a_k}≥1\begin{array}{l}{\;}{(k=1,2,3,…,n-1)}\end{array}$;
(Ⅱ)若{an}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求證:$\frac{1}{2}n(n+1)≤{S_n}≤{2^n}-1$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.已知f(x)是奇函數(shù),若x>0時,f(x)=sinx+cosx,則x<0時,f(x)=sinx-cosx.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.復(fù)數(shù)z滿足|z-2+i|=1,則|z+1-2i|的最小值為3$\sqrt{2}$-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.$f(x)=2\sqrt{3}sinx-2cosx$,則f(x)的最大值為4.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案