Question

2．偶函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，且當(dāng)x∈（-2013，-2012）時(shí)，f（x）=cos $\frac{π}{2}$x，f（-2012）=a，f（-2013）=b，（a＜b）．
（1）若△ABC是鈍角三角形，C是鈍角，證明：f（sinA）＞f（cosB）；
（2）若f（x）的值域是[a，b]，求a，b的值，并求方程f（x）=b的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)結(jié)合三角形的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）x∈（-1，0）時(shí)x-2012∈（-2013，-2012），
f（x）=f（x-2012）=cos $\frac{π}{2}$（x-2012）=cos $\frac{π}{2}$x，
因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以x∈（0，1）時(shí)，f（x）=cos $\frac{π}{2}$x，
f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
因?yàn)椤鰽BC是鈍角三角形，C是鈍角，所以0＜A＜$\frac{π}{2}$-B＜$\frac{π}{2}$，
所以0＜sin A＜cos B＜1，所以f（sin A）＞f（cos B）；
（2）x∈（-1，0）∪（0，1）時(shí)f（x）=cos $\frac{π}{2}$x∈（0，1），
f（0）=f（-2012）=a，f（-1）=f（1）=f（-2013）=b，
若f（x）的值域是[a，b]，則a=0，b=1．
方程f（x）=b的解集是{x|x=2k+1，k∈Z }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．