Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+b-2-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，若方程|f（x）|=1有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． [1，$\sqrt{2}$）
• B． [0，$\sqrt{2}$-1]
• C． [$\sqrt{2}$-1，1）
• D． [$\sqrt{2}$-1，1]

Answer 1

分析 若方程|f（x）|=1有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，則y=x+b-3，y=x+b-1，與y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出y=x+b-3，y=x+b-1，與y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：若|f（x）|=1，則f（x）=x+b-2-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=1，或f（x）=x+b-2-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=-1，
即x+b-3=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，或x+b-1=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，
畫(huà)出y=x+b-3，y=x+b-1，與y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的圖象如下圖所示：

若方程|f（x）|=1有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，
則y=x+b-3，y=x+b-1，與y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，
則b-1∈[0，$\sqrt{2}-1$），
即b∈[1，$\sqrt{2}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．