Question

11．已知橢圓C：4x²+y²=1，直線1：x-y-b=0．
（1）判斷直線1與橢圓C的位置關(guān)系；
（2）求1被C截得的最長弦所在的直線方程，并求弦長的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消掉y后得到x的二次方程，利用△，即可判斷直線1與橢圓C的位置關(guān)系；
（2）利用弦長公式，結(jié)合配方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由橢圓C：4x²+y²=1，直線1：x-y-b=0，得5x²-2bx+b²-1=0，
△=4b²-4×5（b²-1）=-4b²+5=0，∴b=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$時直線與橢圓相切．
-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜b＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$時直線與橢圓相交；
b＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或b＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$時直線與橢圓沒有交點(diǎn)；
（2）弦長=$\sqrt{2}$$•\sqrt{（\frac{2b}{5}）^{2}-4•\frac{^{2}-1}{5}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{4\sqrt{5-4^{2}}}{5}$，
∴b=0，弦長最大，最大值為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，直線方程為x-y=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．