Question

13．如圖，三棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=$\sqrt{2}$AB且PE=3EB時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直得到PD⊥AC，由正方形性質(zhì)得到BD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，由此能證明平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）根據(jù)直線和平面所成角的定義作出線面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵四棱錐底面為正方形，
∴AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面AEC，
∴平面PBD⊥平面AEC；
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
由（1）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，
∴設(shè)AB=a，∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
則△PDB中，PD=BD=$\sqrt{2}$a，
∴∠EBO=45°，EB=$\frac{1}{3}$PE=$\frac{1}{4}$PB=$\frac{1}{4}$•2a=$\frac{a}{2}$，
在△BOE中，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，EO=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}{a}^{2}}{2}cos45°}$=$\frac{a}{2}$，
∵AO⊥OE，
∴tan∠OEA=$\frac{AO}{EO}$=$\sqrt{2}$，
即AE與平面PDB所成的角的正切值是$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判斷以及直線和平面所成角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及線面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．