Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足${S_n}=\frac{3n}{2}-\frac{n^2}{2}，n∈{N^*}$．
（I）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （ I）當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，計算即可得到{a_n}的通項公式；
（ II）由（I）知$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}=\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，運用裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（ I）當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3n}{2}$-$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$+$\frac{（n-1）^{2}}{2}$=2-n，
故{a_n}的通項公式為a_n=2-n；
（ II）由（I）知$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}=\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}}\right\}的前n項和為$
S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{-1}-\frac{1}{1}）+（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]=\frac{n}{1-2n}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．