13.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值為( 。
A.18B.24C.28D.32

分析 設(shè)P(x,y),由數(shù)量積運(yùn)算及點(diǎn)P在橢圓上可把$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$表示為x的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其最大值.

解答 解:橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的a=4,b=$\sqrt{7}$,c=3,
即有O(0,0),F(xiàn)(-3,0),
設(shè)P(x,y),
則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=(x,y)•(x+3,y)=x2+3x+y2
又點(diǎn)P在橢圓上,即有$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$,
所以x2+3x+7(1-$\frac{{x}^{2}}{16}$)=$\frac{9}{16}$x2+3x+7=$\frac{9}{16}$(x+$\frac{8}{3}$)2+3,
又-4≤x≤4,
所以當(dāng)x=4時(shí),$\frac{9}{16}$(x+$\frac{8}{3}$)2+3取得最大值為28,
即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值為28,
故選C.

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓的簡單性質(zhì),同時(shí)考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法,屬中檔題.

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A.17B.36C.3D.7

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