Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出sinα、cosα的值，再計(jì)算f（α）的值；
（Ⅱ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，即可求出f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（α）=$\sqrt{2}$cosα（sinα+cosα）
=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
=$\sqrt{2}$；…（4分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cosx（sinx+cosx）
=$\sqrt{2}$（cosxsinx+cos²x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（8分）
∴f（x）的最小正周期為π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的求值與三角恒等變換問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．