Question

18．已知公比q≠1的正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，a₃=1，函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$（x∈R），則f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+f（lna₄）+f（lna₅）=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$（x∈R），可得f（x）+f（-x）=1．f（0）=$\frac{1}{2}$．公比q≠1的正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，a₃=1，可得${a}_{1}{a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={a}_{3}^{2}=1$，lna₁+lna₅=lna₂+lna₄=2lna₃=0．即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$（x∈R），
∴f（x）+f（-x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$=1．
f（0）=$\frac{1}{2}$．
∵公比q≠1的正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，a₃=1，
則${a}_{1}{a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={a}_{3}^{2}=1$，
∴l(xiāng)na₁+lna₅=lna₂+lna₄=2lna₃=0．
∴f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+f（lna₄）+f（lna₅）=1+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．