Question

17．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AA₁=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的體積等于$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 通過已知條件求出底面外接圓的半徑，確定球心為O的位置，求出球的半徑，然后求出球的體積．

解答 解：在△ABC中AB=AA₁=2，AC=1，∠BAC=60°，
可得BC=$\sqrt{3}$，
可得△ABC外接圓半徑r=1，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，
三棱柱為直三棱柱，側(cè)面BAA₁B₁是正方形它的中心是球心O，
球的直徑為：BA₁=2$\sqrt{2}$，球半徑R=$\sqrt{2}$，
故此球的表面積為$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故答案為：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計(jì)算能力．