8.已知△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,a2+c2+ac=b2,D為AC上一點(diǎn),且AB⊥BD,若AB=CD,則$\frac{AD}{CD}$=$\root{3}{2}$.

分析 由余弦定理及已知可求B=120°,設(shè)AD=y,AB=CD=x,則在△ABD中,利用正弦定理可得:y=$\frac{x}{cosA}$,
在△ABC中,利用正弦定理可得:y=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin(60°-A)}-x$,從而可得$\frac{x}{cosA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin(60°-A)}-x$,化簡可得:(2cosA+1)(2cos3A-1)=0,解得cosA=$\frac{\root{3}{4}}{2}$,即可求得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{cosA}$=$\root{3}{2}$.

解答 解:∵a2+c2+ac=b2,
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$,可得B=120°,
設(shè)AD=y,AB=CD=x,
則在△ABD中,有:$\frac{y}{sin90°}=\frac{x}{sin(90°-A)}=\frac{x}{cosA}$,即:y=$\frac{x}{cosA}$,
在△ABC中,有:$\frac{y+x}{sin120°}$=$\frac{x}{sin(60°-A)}$,解得:y=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin(60°-A)}-x$,
∴$\frac{x}{cosA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin(60°-A)}-x$,化簡可得:$\sqrt{3}$cosA=(1+cosA)($\sqrt{3}$cosA-sinA),
整理可得:(1-cos2A)(1+cosA)2=3cos4A,
可得:(2cosA+1)(2cos3A-1)=0.
解得:cosA=-$\frac{1}{2}$(舍去),或cosA=$\frac{\root{3}{4}}{2}$.
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{cosA}$=$\frac{1}{\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\root{3}{2}$.
故答案為:$\root{3}{2}$.

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,計(jì)算量較大,屬于中檔題.

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