Question

8．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，a²+c²+ac=b²，D為AC上一點(diǎn)，且AB⊥BD，若AB=CD，則$\frac{AD}{CD}$=$\root{3}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理及已知可求B=120°，設(shè)AD=y，AB=CD=x，則在△ABD中，利用正弦定理可得：y=$\frac{x}{cosA}$，
在△ABC中，利用正弦定理可得：y=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，從而可得$\frac{x}{cosA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，化簡可得：（2cosA+1）（2cos³A-1）=0，解得cosA=$\frac{\root{3}{4}}{2}$，即可求得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{cosA}$=$\root{3}{2}$．

解答 解：∵a²+c²+ac=b²，
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，可得B=120°，
設(shè)AD=y，AB=CD=x，
則在△ABD中，有：$\frac{y}{sin90°}=\frac{x}{sin（90°-A）}=\frac{x}{cosA}$，即：y=$\frac{x}{cosA}$，
在△ABC中，有：$\frac{y+x}{sin120°}$=$\frac{x}{sin（60°-A）}$，解得：y=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，
∴$\frac{x}{cosA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，化簡可得：$\sqrt{3}$cosA=（1+cosA）（$\sqrt{3}$cosA-sinA），
整理可得：（1-cos²A）（1+cosA）²=3cos⁴A，
可得：（2cosA+1）（2cos³A-1）=0．
解得：cosA=-$\frac{1}{2}$（舍去），或cosA=$\frac{\root{3}{4}}{2}$．
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{cosA}$=$\frac{1}{\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\root{3}{2}$．
故答案為：$\root{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算量較大，屬于中檔題．