Question

5．過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與拋物線y²=-4x交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，則有（　　）

• A． |MA|+|MB|=2|MC|
• B． |MA|•|MB|=|MC|²
• C． |MA|=|MB|•|MC|
• D． |MA|²=|MB|²+|MC|²

Answer 1

分析 可畫(huà)出圖形，設(shè)l的方程為y=kx+2，從而可聯(lián)立拋物線的方程消去x得到${y}^{2}+\frac{4}{k}•y-\frac{8}{k}=0$，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理即可求出${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{{k}^{2}}$，根據(jù)圖形可以得到$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}}，\frac{|MC|}{|MB|}=\frac{\frac{2}{k}}{-{x}_{2}}$，這樣便可得到$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{|MC|}{|MB|}$，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：如圖，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，∴$x=\frac{y-2}{k}$，代入拋物線方程并整理得：

${y}^{2}+\frac{4}{k}•y-\frac{8}{k}=0$；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{4}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{8}{k}$；
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{y}_{1}-2}{k}•\frac{{y}_{2}-2}{k}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{k}^{2}}=\frac{4}{{k}^{2}}$；
∵$C（-\frac{2}{k}，0）$；
∴$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{\frac{2}{k}•（-{x}_{2}）}=\frac{\frac{4}{{k}^{2}}}{\frac{2}{k}•（-{x}_{2}）}$，$\frac{|MC|}{|MB|}=\frac{\frac{2}{k}}{-{x}_{2}}=\frac{\frac{4}{{k}^{2}}}{（-{x}_{2}）•\frac{2}{k}}$；
∴$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{|MC|}{|MB|}$；
∴|MA||MB|=|MC|²．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查直線的點(diǎn)斜式方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，韋達(dá)定理，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系．