Question

5．已知銳角α，β滿足條件cos2α-cos2β=cos2（α-β）-$\frac{3}{2}$，求α-β的值．

Answer 1

分析 把等式左邊利用三角函數(shù)的和差化積，右邊利用倍角公式降冪，然后通過配方轉(zhuǎn)化為方程組求得$α+β=\frac{π}{2}$，進(jìn)一步得到$sin（α-β）=\frac{1}{2}$，最后結(jié)合角的范圍得答案．

解答 解：由cos2α-cos2β=cos2（α-β）-$\frac{3}{2}$，得
$-2sin（α+β）sin（α-β）=1-2si{n}^{2}（α-β）-\frac{3}{2}$．
即4sin²（α-β）-4sin（α-β）sin（α+β）+1=0．
∴[2sin（α-β）-sin（α+β）]²+cos²（α+β）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cos（α+β）=0}\\{sin（α+β）=2sin（α-β）}\end{array}\right.$．
∵$0＜α＜\frac{π}{2}，0＜β＜\frac{π}{2}$，∴0＜α+β＜π．
則$α+β=\frac{π}{2}$．
∴$sin（α-β）=\frac{1}{2}$，
又$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，則$α-β=\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的和差化積公式，題目涉及由一個(gè)方程求兩個(gè)未知量的問題，可采用通過配方，利用平方數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為方程組求解，靈活性強(qiáng)，有難度．