Question

5．如圖，直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，點G是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面 A₁BG；
（2）若AB=BC，AC=$\sqrt{2}{A}{{A}_1}$，求證：AC₁⊥A₁B．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AB₁，交A₁B于點O，連結(jié)OG，由三角形中位線定理得OG∥B₁C，由此能證明B₁C∥平面 A₁BG．
（2）由線面垂直得AA₁⊥BG，由已知推導(dǎo)出tan∠AC₁C=tan∠A₁GA=$\sqrt{2}$，從而得到A₁G⊥AC₁，由此能證明AC₁⊥A₁B．

解答 （1）證明：連結(jié)AB₁，交A₁B于點O，連結(jié)OG，
在△B₁AC中，∵G、O分別為AC、AB₁中點，∴OG∥B₁C，
又∵OG?平面A₁BG，B₁C?平面A₁BG，
∴B₁C∥平面 A₁BG．
（2）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，BG?平面ABC，
∴AA₁⊥BG，
∵G為棱AC的中點，AB=BC，∴BG⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，∴BG⊥平面ACC₁A₁，∴BG⊥AC₁，
∵G為棱AC中點，設(shè)AC=2，則AG=1，
∵$A{A}_{1}=\sqrt{2}$，∴在Rt△ACC₁和Rt△A₁AG中，tan∠AC₁C=tan∠A₁GA=$\sqrt{2}$，
∴∠AC₁C=∠A₁GA=∠A₁GA+∠C₁AC=90°，
∴A₁G⊥AC₁，
∵BG∩A₁G=G，∴AC₁⊥平面A₁BG，
∵A₁B?平面A₁BG，∴AC₁⊥A₁B．

點評 本題考查線面平行和異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．