Question

1．若數(shù)列{a_n}對(duì)任意的正整數(shù)n都有a_n+λ²=a_n×a_n+2λ成立，則稱數(shù)列{a_n}為“λ階梯等比數(shù)列”，$\frac{{a}_{n+λ}}{{a}_{n}}$的值稱為“階梯比”，若數(shù)列{a_n}是3階等比數(shù)列且a₁=1，a₄=2，則a₂₀₁₄=2⁶⁷¹．

Answer 1

分析 由新定義結(jié)合數(shù)列{a_n}是3階等比數(shù)列，且a₁=1，a₄=2可得數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)：a₁，a₄，a₇，…構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到
a₂₀₁₄是等比數(shù)列中的第672項(xiàng)，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是3階等比數(shù)列，∴${{a}_{n+3}}^{2}={a}_{n}×{a}_{n+6}$，
由a₁=1，a₄=2，得${a}_{7}=\frac{{{a}_{4}}^{2}}{{a}_{1}}=\frac{4}{1}=4$，
∴數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)：a₁，a₄，a₇，…構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
由2014=1+3（n-1），解得n=672．
∴a₂₀₁₄是等比數(shù)列中的第672項(xiàng)．
則${a}_{2014}=1×{2}^{671}={2}^{671}$．
故答案為：2⁶⁷¹．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．