Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（1﹣x）ex﹣1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè) ，x＞﹣1且x≠0，證明：g（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xex．

當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

∴f（x）的最大值為f（0）=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）＜1等價(jià)于設(shè)f（x）＞x．

設(shè)h（x）=f（x）﹣x，

則h′（x）=﹣xex﹣1．

當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，0＜﹣x＜1， ＜ex＜1，

則0＜﹣xex＜1，

從而當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]單調(diào)遞減．

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，

即g（x）＜1．

綜上，總有g(shù)（x）＜1

【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函數(shù)的 單調(diào)性，證明不等式．