Question

15．已知直線l：y=k（x+2$\sqrt{2}$）（k≠0）與圓O：x²+y²=4相交于A，B兩點，O為坐標原點，△AOB的面積為S．
（1）當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，求S的值；
（2）求S的最大值，并求出此時的k值．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥AB于D，當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，直線l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2，求出|AB|，|OD|，即可求出S的值；
（2）設(shè)∠AOB=θ（0θ＜180°），則S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sinθ=2sinθ，即可求S的最大值，從而求出此時的k值．

解答 解：（1）作OD⊥AB于D，當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，直線l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2，則|OD|=$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，…（2分）
|AB|=2$\sqrt{4-\frac{8}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…（4分）
∴S=$\frac{1}{2}$|AB||OD|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；…（6分）
（2）設(shè)∠AOB=θ（0θ＜180°）
則S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sinθ=2sinθ，…（8分）
∴當θ=90°時，S（θ）_max=2，此時|OD|=$\sqrt{2}$，…（10分）
即$\frac{2\sqrt{2}|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離，三角形面積公式的應(yīng)用，考查計算能力．