Question

4．為了考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，在某城市的某校的高中生中隨機地抽取了300名學生進行調查，得到如下列聯(lián)表：

	喜歡數(shù)學	不喜歡數(shù)學	總計
男	37	85	122
女	35	143	178
總計	72	228	300

由表中數(shù)據計算K²≈4.513，判斷高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間是否有關系，并說明理由．

Answer 1

分析 利用2×2聯(lián)列表，分析性別與是否喜歡數(shù)學課程之間是否有關系，通過計算K²判斷有95%的把握認為“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系”．

解答 解：可以有95%的把握認為“高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系”，作出這種判斷的依據是獨立性檢驗的基本思想，具體過程為：

	喜歡數(shù)學	不喜歡數(shù)學	總計
男	a	b	a+b
女	c	d	c+d
總計	a+c	b+d	a+b+c+d

分別用a，b，c，d表示喜歡數(shù)學的男生數(shù)、不喜歡數(shù)學的男生數(shù)、喜歡數(shù)學的女生數(shù)、不喜歡數(shù)學的女生數(shù)．如果性別與是否喜歡數(shù)學有關系，則男生中喜歡數(shù)學的比例$\frac{a}{a+b}$與女生中喜歡數(shù)學的比例$\frac{c}{c+d}$應該相差很多，即|$\frac{a}{a+b}-\frac{c}{c+d}|=|\frac{ad-bc}{（a+b）（c+d）}$|應很大，將上式等號右邊的式子乘以常數(shù)因子$\frac{{\sqrt{（a+b+c+d）（a+b）（c+d）}}}{{\sqrt{（a+c）（b+d）}}}$，然后平方計算得：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．因此，K²越大，“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系”成立的可能性就越大．
另一方面，假設“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間沒有關系”，由于事件A=“K²＞3.841”的概率為P（A）≈0.05．因此事件A是一個小概率事件．而由樣本計算得K²≈4.513，這表明小概率事件A發(fā)生了，由此我們可以斷定“性別與是否喜歡數(shù)學之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性為5%，約有95%的把握認為“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系”．

點評 本題考查對立檢驗思想的應用，考查計算能力以及分析判斷能力．