Question

3．已知函數f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函數（a∈R）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數，可得f（0）=0，解得a=1，再由奇函數的定義即可判斷；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．運用單調性的定義，結合指數函數的單調性，即可得證；
（Ⅲ）對任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，即有f（t²-（m-2）t）＞-f（t²-m+2）=f（-t²+m-2），再由函數的單調性，可得t²-（m-2）t＞-t²+m-2恒成立，運用二次函數的性質，判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函數，
即有f（0）=0，即a-1=0，解得a=1，
由f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
可得f（x）為奇函數．故a=1；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
理由：設x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
由x₁＜x₂，可得0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在R上遞增；
（Ⅲ）對任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，
即有f（t²-（m-2）t）＞-f（t²-m+2）=f（-t²+m-2），
由f（x）在R上遞增，可得t²-（m-2）t＞-t²+m-2恒成立，
可得2t²-（m-2）t-（m-2）＞0，
由△＜0，即（m-2）²+8（m-2）＜0，
解得-6＜m＜2．
則m的取值范圍是（-6，2）．

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查不等式成立問題的解法，注意運用二次不等式恒成立思想，考查運算能力，屬于中檔題．