Question

16．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，平面ABEF⊥平面ABCD，∠ACD=90°，AB=2，AD=4，ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，AN⊥CF，垂足為N．
（1）求證：AN⊥平面CDF；
（2）求三棱錐B-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由平面ABEF⊥平面ABCD可知AF⊥平面ABCD，從而AF⊥CD，結合AC⊥CD可得CD⊥平面AFC，故而CD⊥AN，又AN⊥CF，可證AN⊥平面CDF；
（2）由平面ABEF⊥平面ABCD可知AC⊥平面ABEF，即AC為棱錐C-BEF的高，由勾股定理求出AC，代入體積計算即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABEF為正方形，∴AB⊥AF，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴CD⊥AF，
∵∠ACD=90°，∴CD⊥AC，
又∵AF?平面AFC，AC?平面AFC，AF∩AC=A，
∴CD⊥平面AFC，∵AN?平面AFC，
∴CD⊥AN，又∵AN⊥CF，CF?平面CDF，CD?平面CDF，CF∩CD=C，
∴AN⊥平面CDF．
（2）∵AB∥CD，AC⊥CD，∴AC⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF，
∵CD=AB=2，AD=4，∠ACD=90°，∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴三棱錐B-CEF的體積V=$\frac{1}{3}$S_△BEF•AC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．