Question

19．空間四邊形ABCD中，對角線AC與BD互相垂直，那么順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得到這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由對角線垂直，能證出有一個(gè)角等于90°，則這個(gè)四邊形為矩形．

解答 已知：AC⊥BD，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，連接點(diǎn)E、F、G、H．
求證：四邊形EFGH是矩形
證明：∵E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，（三角形的中位線平行于第三邊）
∴四邊形EFGH是平行四邊形，（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四邊形EMON是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形），
∴∠MEN=90°，
∴四邊形EFGH是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．
故答案為：矩形．

點(diǎn)評 本題考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三種：
①一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
②三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
③對角線相等的平行四邊形是矩形．