Question

9．函數(shù)f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ₀處取得最小值，則點(diǎn)M（cosθ₀，sinθ₀）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$）．

Answer 1

分析 由輔助角公式可得f（θ）=13sin（θ+φ），其中sinφ=$\frac{12}{13}$，cosφ=$\frac{5}{13}$，由三角函數(shù)的最值和誘導(dǎo)公式以及對(duì)稱性可得．

解答 解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（$\frac{12}{13}$cosθ+$\frac{5}{13}$sinθ）
=13sin（θ+φ），其中sinφ=$\frac{12}{13}$，cosφ=$\frac{5}{13}$，
∴當(dāng)θ+φ=$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（θ）取最小值-13，
此時(shí)θ=θ₀=$\frac{3π}{2}$-φ，故cosθ₀=cos（$\frac{3π}{2}$-φ）=-sinφ=-$\frac{12}{13}$，
sinθ₀=sin（$\frac{3π}{2}$-φ）=-cosφ=-$\frac{5}{13}$，即M（-$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），
由對(duì)稱性可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$），
故答案為：（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及輔助角公式和誘導(dǎo)公式，屬中檔題．