Question

8．若函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}a{x}^{3}-a{x}^{2}+2x+10$是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍的是[0，4]．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：a=0時：f（x）=2x+10，在R上是增函數(shù)，
a≠0時：
∵函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}a{x}^{3}-a{x}^{2}+2x+10$是R上的增函數(shù)，
∴f′（x）=2ax²-2ax+2≥0在R上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-16a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤4，
故答案為：[0，4]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．