Question

10．如圖，在△ABC中，AB+AC=2BC，G為重心，I為內(nèi)心．證明：GI∥BC．

Answer 1

分析 根據(jù)已知和三角形內(nèi)角平分線定理，可得$\frac{AI}{IE}$=2，結(jié)合重心的性質(zhì)，可得$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$，進(jìn)而得到答案．

解答 證明：∵I為△ABC內(nèi)心．
∴AE為∠BAC的角平分線，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$，

∴$\frac{AB+AC}{AC}$=$\frac{BE+CE}{CE}$，
∴$\frac{2BC}{AC}$=$\frac{BC}{CE}$
∴AC=2CE，
又∵CI為∠C的平分線，
故$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$=2，
又∵G為△ABC重心．
∴$\frac{AG}{GD}$=2，
即$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$，
故GI∥BC

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的四心，三角形內(nèi)角平分線定理，平行線分線段成比例定理，難度中檔．