Question

9．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁的中點．
（1）證明：DC₁⊥平面BDC；
（2）若AA₁=2，求三棱錐C-BDC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，利用線面垂直的判定定理，即可證明C₁D⊥平面BDC；
（2）利用V_C-BC1D=V_B-CC1D，求幾何體C-BC₁D的體積．

解答 （1）證明：由題設(shè)知BC⊥CC₁，BC⊥AC，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．（2分）
又∵DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC．（3分）
由題設(shè)知$∠ADC=∠{A_1}D{C_1}={45^o}$，∴$∠CD{C_1}={90^o}$，即C₁D⊥DC．（4分）
∵DC∩BC=C，∴DC₁⊥平面BDC．（6分）
（2）解：∵AA₁=2，D是棱AA₁的中點，$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}$
∴AC=BC=1，AD=1（7分）
∴$CD=\sqrt{A{D^2}+A{C^2}}=\sqrt{2}$，$D{C_1}=\sqrt{2}$（9分）
∴Rt△CDC₁的面積$S=\frac{1}{2}CD•D{C_1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$（10分）
∴${V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}S•BC=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$（11分）
∴${V_{C-BD{C_1}}}={V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}$，即三棱錐C-BDC₁的體積為$\frac{1}{3}$．（13分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計算，著重考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用與棱柱、棱錐的體積，考查分析表達與運算能力，屬于中檔題．