Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁，a₂分別是等差數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：1≤$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{i}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系及其等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：∵a_n+1=S_n+2，n∈N^*．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+2，可得a_n+1-a_n=a_n，化為a_n+1=2a_n．
又a₂=a₁+2，滿足a₂=2a₁，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵b₂=a₁=2，b₄=a₂=4，
∴4-2=2d，解得d=1．
∴b_n=b₂+（n-2）×1=n．
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{i}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$2（1-\frac{1}{n+1}）$．
∵1≤$2（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．
∴1≤$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{i}}$＜2．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．