Question

3．從極點(diǎn)作圓ρ=4sinθ的弦，則各條弦中點(diǎn)的軌跡方程為ρ=2sinθ．

Answer 1

分析 設(shè)某一條弦中點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），弦的一端點(diǎn)為極點(diǎn)（0，0），另一端點(diǎn)為（ρ₀，θ₀），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得ρ₀=2ρ，θ₀=θ，由此能求出各條弦中點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：設(shè)某一條弦中點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），弦的一端點(diǎn)為極點(diǎn)（0，0），另一端點(diǎn)為（ρ₀，θ₀），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：
$\frac{0+{ρ}_{0}}{2}$=ρ，θ₀=θ，
即ρ₀=2ρ，θ₀=θ，
而點(diǎn)（ρ₀，θ₀）在圓ρ=4sinθ上，
代入得：2ρ=4sinθ，
化簡得各條弦中點(diǎn)的軌跡方程為ρ=2sinθ．
故答案為：ρ=2sinθ．

點(diǎn)評 本題考查弦中點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程性質(zhì)的合理運(yùn)用．