Question

2．已知菱形邊長為$\sqrt{2}$，∠DAB=45°，若E為CD的中點，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由向量的數量積的定義可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos45°=$\sqrt{2}$，運用中點的向量表示和平行四邊形法則，可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$），再由向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：菱形邊長為$\sqrt{2}$，∠DAB=45°，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos45°=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
E為CD的中點，即有
$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$），
則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AD}$²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2；
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$×2+$\sqrt{2}$=1+$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2，1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．