Question

14．已知f（x）=sin2x，記f_n+1（x）=f′_n（x）（x∈N^*）
（1）f_4k+1（x）=2^4ksin2x，f_4k+2（x）=2^4k+1cos2x，f_4k+3（x）=-2^4k+24sin2x，f_4k+4（x）=-2^4k+3cos2x．（k∈Z）
（2）則f₁（$\frac{π}{6}$）+f₂（$\frac{π}{6}$）+…+f₂₀₁₃（$\frac{π}{6}$）+f₂₀₁₄（$\frac{π}{6}$）==$\frac{2+\sqrt{3}}{10}$（1+2²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 根據(jù)題目給出的f₁（x），依次求導(dǎo)得到f₂（x），f₃（x），…，然后把sin2x和cos2x的值代入，得到要求的和式是以1為首項，以-4為公比的等比數(shù)列的前1007項和，運用等比數(shù)列前n項和公式即可求解．

解答 解：（1）∵f₁（x）=sin2x，f_n+1（x）=f′_n（x），
∴f₂（x）=f₁′（x）=（sin2x）′=2cos2x，
f₃（x）=f₂′（x）=（2cos2x）′=-4sin2x，
f₄（x）=f₃′（x）=（-4sin2x）′=-8cos2x，
f₅（x）=f₄′（x）=（-8cos2x）′=16sin2x，
∴f_4k+1（x）=2^4kf₁（x）=2^4ksin2x，
f_4k+2（x）=2^4k+1f₂（x）=2^4k+1cos2x，
f_4k+3（x）=2^4k+2f₃（x）=-2^4k+24sin2x，
f_4k+4（x）=2^4k+3f₄（x）=-2^4k+3cos2x；
（2）f₁（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f₂（$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{3}$=2¹×$\frac{1}{2}$，f₃（$\frac{π}{6}$）=-4sin$\frac{π}{3}$=-2²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f₄（$\frac{π}{6}$）=-8cos$\frac{π}{3}$=-2³×$\frac{1}{2}$，
∴f₁（$\frac{π}{6}$）+f₂（$\frac{π}{6}$）+…+f₂₀₁₃（$\frac{π}{6}$）+f₂₀₁₄（$\frac{π}{6}$），
=[f₁（$\frac{π}{6}$）+f₃（$\frac{π}{6}$）+…+f₂₀₁₃（$\frac{π}{6}$）]+[f₂（$\frac{π}{6}$）+f₄（$\frac{π}{6}$）+…+f₂₀₁₄（$\frac{π}{6}$）]，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2⁰-2²+2⁴+…-2²⁰¹⁰+2²⁰¹²）+$\frac{1}{2}$（2¹-2³+2⁵+…-2²⁰¹¹+2²⁰¹³），
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1-（-4）^{1007}}{1+4}$+$\frac{1}{2}$$\frac{2（1-（-4）^{1007}）}{1+4}$，
=$\frac{2+\sqrt{3}}{10}$（1+2²⁰¹⁴）
故答案為：（1）2^4ksin2x，2^4k+1cos2x，-2^4k+24sin2x，-2^4k+3cos2x，（2）$\frac{2+\sqrt{3}}{10}$（1+2²⁰¹⁴）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，數(shù)列的求和，考查了學(xué)生分析和發(fā)現(xiàn)問題的能了，考查了運算能力，本題屬中檔題．