Question

【題目】已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)，且和軸相切的圓的方程；

（3）若，是橢圓上異于，的兩個點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線的上方，試判斷的平分線是否經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）是，.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；

（2）由（1）中所求即可知點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，根據(jù)題意，列方程求解即可；

（3）設(shè)出直線、的斜率分別為、，以及兩條直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合//，找到之間的關(guān)系，即可容易求得.

（1）由，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，且和軸相切的圓的圓心為，半徑為，

圓的方程為，由題意可知，因?yàn)?/span>，在圓上，

所以，解得或，

故所求的圓的方程為或.

（3）設(shè)點(diǎn)、分別為、，直線、的斜率分別為、，

聯(lián)立直線與橢圓方程，

化簡得，

∵是方程的一個解，∴，則，

同理可得，則，

∴直線的斜率，

又∵且，∴，化簡得，

∴直線、關(guān)于直線對稱，即為的角平分線所在的直線，

∴的角平分線經(jīng)過軸上的定點(diǎn).